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汉诺塔问题

在归并排序和构建二叉树中,我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题,我们采用不同的分解策略。

Question

给定三根柱子,记为 ABC 。起始状态下,柱子 A 上套着 \(n\) 个圆盘,它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 \(n\) 个圆盘移到柱子 C 上,并保持它们的原有顺序不变(如下图所示)。在移动圆盘的过程中,需要遵守以下规则。

  1. 圆盘只能从一根柱子顶部拿出,从另一根柱子顶部放入。
  2. 每次只能移动一个圆盘。
  3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。

汉诺塔问题示例

我们将规模为 \(i\) 的汉诺塔问题记作 \(f(i)\) 。例如 \(f(3)\) 代表将 \(3\) 个圆盘从 A 移动至 C 的汉诺塔问题。

考虑基本情况

如下图所示,对于问题 \(f(1)\) ,即当只有一个圆盘时,我们将它直接从 A 移动至 C 即可。

规模为 1 的问题的解

hanota_f1_step2

如下图所示,对于问题 \(f(2)\) ,即当有两个圆盘时,由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上,因此需要借助 B 来完成移动

  1. 先将上面的小圆盘从 A 移至 B
  2. 再将大圆盘从 A 移至 C
  3. 最后将小圆盘从 B 移至 C

规模为 2 的问题的解

hanota_f2_step2

hanota_f2_step3

hanota_f2_step4

解决问题 \(f(2)\) 的过程可总结为:将两个圆盘借助 BA 移至 C 。其中,C 称为目标柱、B 称为缓冲柱。

子问题分解

对于问题 \(f(3)\) ,即当有三个圆盘时,情况变得稍微复杂了一些。

因为已知 \(f(1)\)\(f(2)\) 的解,所以我们可从分治角度思考,A 顶部的两个圆盘看作一个整体,执行下图所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 A 移至 C 了。

  1. B 为目标柱、C 为缓冲柱,将两个圆盘从 A 移至 B
  2. A 中剩余的一个圆盘从 A 直接移动至 C
  3. C 为目标柱、A 为缓冲柱,将两个圆盘从 B 移至 C

规模为 3 的问题的解

hanota_f3_step2

hanota_f3_step3

hanota_f3_step4

从本质上看,我们将问题 \(f(3)\) 划分为两个子问题 \(f(2)\) 和一个子问题 \(f(1)\) 。按顺序解决这三个子问题之后,原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的,而且解可以合并。

至此,我们可总结出下图所示的解决汉诺塔问题的分治策略:将原问题 \(f(n)\) 划分为两个子问题 \(f(n-1)\) 和一个子问题 \(f(1)\) ,并按照以下顺序解决这三个子问题。

  1. \(n-1\) 个圆盘借助 CA 移至 B
  2. 将剩余 \(1\) 个圆盘从 A 直接移至 C
  3. \(n-1\) 个圆盘借助 AB 移至 C

对于这两个子问题 \(f(n-1)\)可以通过相同的方式进行递归划分,直至达到最小子问题 \(f(1)\) 。而 \(f(1)\) 的解是已知的,只需一次移动操作即可。

解决汉诺塔问题的分治策略

代码实现

在代码中,我们声明一个递归函数 dfs(i, src, buf, tar) ,它的作用是将柱 src 顶部的 \(i\) 个圆盘借助缓冲柱 buf 移动至目标柱 tar

[file]{hanota}-[class]{}-[func]{solve_hanota}

如下图所示,汉诺塔问题形成一棵高度为 \(n\) 的递归树,每个节点代表一个子问题,对应一个开启的 dfs() 函数,因此时间复杂度为 \(O(2^n)\) ,空间复杂度为 \(O(n)\)

汉诺塔问题的递归树

Quote

汉诺塔问题源自一个古老的传说。在古印度的一个寺庙里,僧侣们有三根高大的钻石柱子,以及 \(64\) 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动圆盘,他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻,这个世界就会结束。

然而,即使僧侣们每秒钟移动一次,总共需要大约 \(2^{64} \approx 1.84×10^{19}\) 秒,合约 \(5850\) 亿年,远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以,倘若这个传说是真的,我们应该不需要担心世界末日的到来。