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最大容量问题

Question

输入一个数组 \(ht\) ,其中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板,以及它们之间的空间可以组成一个容器。

容器的容量等于高度和宽度的乘积(面积),其中高度由较短的隔板决定,宽度是两个隔板的数组索引之差。

请在数组中选择两个隔板,使得组成的容器的容量最大,返回最大容量。示例如下图所示。

最大容量问题的示例数据

容器由任意两个隔板围成,因此本题的状态为两个隔板的索引,记为 \([i, j]\)

根据题意,容量等于高度乘以宽度,其中高度由短板决定,宽度是两隔板的数组索引之差。设容量为 \(cap[i, j]\) ,则可得计算公式:

\[ cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i) \]

设数组长度为 \(n\) ,两个隔板的组合数量(状态总数)为 \(C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}\) 个。最直接地,我们可以穷举所有状态,从而求得最大容量,时间复杂度为 \(O(n^2)\)

贪心策略确定

这道题还有更高效率的解法。如下图所示,现选取一个状态 \([i, j]\) ,其满足索引 \(i < j\) 且高度 \(ht[i] < ht[j]\) ,即 \(i\) 为短板、\(j\) 为长板。

初始状态

如下图所示,若此时将长板 \(j\) 向短板 \(i\) 靠近,则容量一定变小

这是因为在移动长板 \(j\) 后,宽度 \(j-i\) 肯定变小;而高度由短板决定,因此高度只可能不变( \(i\) 仍为短板)或变小(移动后的 \(j\) 成为短板)。

向内移动长板后的状态

反向思考,我们只有向内收缩短板 \(i\) ,才有可能使容量变大。因为虽然宽度一定变小,但高度可能会变大(移动后的短板 \(i\) 可能会变长)。例如在下图中,移动短板后面积变大。

向内移动短板后的状态

由此便可推出本题的贪心策略:初始化两指针,使其分列容器两端,每轮向内收缩短板对应的指针,直至两指针相遇。

下图展示了贪心策略的执行过程。

  1. 初始状态下,指针 \(i\)\(j\) 分列数组两端。
  2. 计算当前状态的容量 \(cap[i, j]\) ,并更新最大容量。
  3. 比较板 \(i\) 和 板 \(j\) 的高度,并将短板向内移动一格。
  4. 循环执行第 2. 步和第 3. 步,直至 \(i\)\(j\) 相遇时结束。

最大容量问题的贪心过程

max_capacity_greedy_step2

max_capacity_greedy_step3

max_capacity_greedy_step4

max_capacity_greedy_step5

max_capacity_greedy_step6

max_capacity_greedy_step7

max_capacity_greedy_step8

max_capacity_greedy_step9

代码实现

代码循环最多 \(n\) 轮,因此时间复杂度为 \(O(n)\)

变量 \(i\)\(j\)\(res\) 使用常数大小的额外空间,因此空间复杂度为 \(O(1)\)

[file]{max_capacity}-[class]{}-[func]{max_capacity}

正确性证明

之所以贪心比穷举更快,是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。

比如在状态 \(cap[i, j]\) 下,\(i\) 为短板、\(j\) 为长板。若贪心地将短板 \(i\) 向内移动一格,会导致下图所示的状态被“跳过”。这意味着之后无法验证这些状态的容量大小

\[ cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1] \]

移动短板导致被跳过的状态

观察发现,这些被跳过的状态实际上就是将长板 \(j\) 向内移动的所有状态。前面我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说,被跳过的状态都不可能是最优解,跳过它们不会导致错过最优解

以上分析说明,移动短板的操作是“安全”的,贪心策略是有效的。